CodeForces 1562D Two Hundred Twenty One


2021-08-28

给定一个长度为 \(n\) 的字符串表示一个序列 \(a_i\),字符串中只有 '+''-',第 \(i\) 个字符为 '+' 表示 \(a_i = 1\),为 '-' 表示 \(a_i = -1\)\(q\) 组询问,每组询问给定两个整数 \(l, r\,(1\le l\le r\le n)\),将 \(a_{l\sim r}\) 单独取出后,求最少删除多少个数字,使得所成长度为 \(m\) 的序列 \(\left\{b_{i}\right\}\) 满足 \(\sum_{i=1}^m(-1)^{i-1}b_i=0\)

D1 仅要求出最少删除多少个数字,D2 需要求出删除哪些数字(多解输出任意一组即可)。

\(T\) 组数据,\(1\le T\le 10^3, 1\le n, q\le 3\cdot 10^5\)

先考虑没有多组询问。

窝萌首先发现一个性质,那就是如果有两个连续的相同字符,那么这两个字符对答案无贡献,我们可以直接删掉。那我们一次删掉之后,最后得到的序列只能是正负交替的了。于是我们只要考虑此种情况即可。我们发现如果删完的序列长度为奇数的话,我们只要删除最中间那个数就可以了。我们考虑偶数,如果长度已经为 \(0\),那显然就不用删除了,如果不为 \(0\) 的话,考虑到们此相同字符消除一定是两个两个删的,所以至少要删两个数,有考虑到如果随便删一个数,那么序列长度就变成奇数了,所以我们只需要删两个数即可。

于是我们发现,如果是询问系列长度为奇数,那答案最多是 \(1\),如果是偶数,我们可以维护前缀和 \(S_i=\sum_{j=1}^i(-1)^{j-1}a_j\),如果 \(S_r-S_{l-1}\)\(0\),那答案就是 \(0\),否则是 \(2\)

这样 D1 就做完了。

我们考虑 D2,我们先考虑奇数的情况,我们假设要删掉的数是第 \(k\) 个,那我们有 \(\sum_{i=l}^{k - 1}(-1)^{i-1}a_{i}+(-1)\cdot\sum_{i=k+1}^r(-1)^{i-1}a_i=0\) 也即 \(S_{k-1}-S_{l-1}=S_{r}-S_{k}\) 也即 \(S_{k-1}+S_k=S_{l-1}+S_r\),于是我们对每个 \(S_{k-1}+S_k\) 相同的开个 set,之后对每组询问 \(\left<l,r\right>\),我们只要在所有 \(S_{k-1}+S_k=S_{l-1}+S_r\) 数中 lower_bound 出一个在 \([l,r]\) 中的答案即可。

长度为偶数就直接随便删掉最左边或是最右边的数,然后按照奇数的方法做即可。

cpp
const int maxn = 300005;

int qzh[maxn];
char s[maxn];

void solve() {
  int n, q;
  scanf("%d%d%s", &n, &q, s + 1);
  std::map<int, std::set<int>> mp;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    qzh[i] = qzh[i - 1] + (((i & 1) == (s[i] == '+')) ? 1 : -1);
    mp[qzh[i - 1] + qzh[i]].insert(i);
  }
  while (q--) {
    int l, r;
    scanf("%d%d", &l, &r);
    if (qzh[r] - qzh[l - 1]) {
      if ((r - l) & 1) {
        puts("2");
        writesp(r);
        r--;
      } else {
        puts("1");
      }
      writeln(*mp[qzh[l - 1] + qzh[r]].lower_bound(l));
    } else {
      puts("0");
    }
  }
}

int main() {
  int T;
  scanf("%d", &T);
  while (T--) {
    solve();
  }
  return 0;
}

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@misc{pu2021cf1562d,
  author = {Pu, Fanyi},
  title  = {CodeForces 1562D Two Hundred Twenty One},
  year   = {2021},
  month  = {8},
  url    = {https://pufanyi.com/blog/cf1562d}
}