2021 浙江高考数学圆锥曲线

高考数学挂了

圆锥曲线最后几步了忘了开根 qaq

这里订正一下

如图，已知 $F$ 是抛物线 的焦点，$M$ 是抛物线的准线与 $x$ 轴的交点，且 $\left|MF\right|=2$

（1）求抛物线的方程；

解：$p=2\Rightarrow y^2=4x$

（2）设过点 $F$ 的直线交抛物线与 $A$､$B$ 两点，斜率为 $2$ 的直线 $l$ 与直线 $MA,MB,AB$，$x$ 轴依次交于点 $P，Q，R，N$，且 ${\left|RN\right|}^2=\left|PN\right|\cdot \left|QN\right|$，求直线 $l$ 在 $x$ 轴上截距的范围。

解：

设 $A(a^2,2a),B(b^2,2b)$。有 $AB:(a+b)y=2x+2ab$。

将 $F(1,0)$ 代入得：$ab=-1$，即 $AB:(a+b)y=2x-2$。

设 $l:x=\frac{1}{2}y+t$，代入 $AB$，有：$y_R=\frac{2t-2}{a+b-1}$。

考虑到 $M(-1,0)$，于是 $MA:\frac{y-2a}{x-a^2}=\frac{2a}{a^2+1}$。

$MA$ 与 $l$ 联立：$y_P=\frac{2a(t+1)}{a^2-a+1}$。同理 $y_Q=\frac{2b(t+1)}{b^2-b+1}$。

又 $\left|PN\right|\cdot \left|QN\right|={\left|RN\right|}^2\Rightarrow y_R^2=-y_P{y}_Q$。

考虑到 $-y_P{y}_Q=-\frac{4ab(t+1{)}^2}{(a^2-a+1)(b^2-b+1)}=\frac{4(t+1{)}^2}{a^2+b^2+1}$，$y_R^2=\frac{4(t-1{)}^2}{a^2+b^2-2a-2b-1}$。

当 $t\ne \pm 1$ 时：

我们有：$\left|PN\right|\cdot \left|QN\right|={\left|RN\right|}^2\Rightarrow {\left(\frac{t-1}{t+1}\right)}^2=\frac{a^2+b^2-2a-2b-1}{a^2+b^2+1}$。

令 $s=a+b$，则 $s=a-\frac{1}{a}\in \mathbb{R}$，$a^2+b^2=s^2-2ab=s^2+2$。

那么我们有 ${\left(\frac{t-1}{t+1}\right)}^2=\frac{(s-1{)}^2}{s^2+3}$

取 $r=\frac{(s-1{)}^2}{s^2+3}$，我们有 $(r-1)s^2+2s+(3r-1)=0$，$\mathrm{\Delta }=4-4(r-1)(3r-1)\ge 0$。

于是 $r\in [0,\frac{4}{3}]$，也即 $\frac{t-1}{t+1}\in [-\sqrt{\frac{4}{3}},\sqrt{\frac{4}{3}}]$，故 $t\le -4\sqrt{3}-7$ 或 $t\ge 4\sqrt{3}-7$ 且 $t\ne 1$。

当 $t=\pm 1$ 时：

${\left|RN\right|}^2=0$，但 $\left|PN\right|\cdot \left|QN\right|$ 不可能为 $0$，故不成立。

综上，$t\in (-\mathrm{\infty },-4\sqrt{3}-7]\cup [4\sqrt{3}-7,1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$。