# 2021 浙江高考数学圆锥曲线 Author: Fanyi Pu Published: 2021-08-17 Canonical: 圆锥曲线最后几步了忘了开根 qaq 高考数学挂了 圆锥曲线最后几步了忘了开根 qaq 这里订正一下 如图，已知 $F$ 是抛物线 $y^2=2px\,(p>0)$ 的焦点，$M$ 是抛物线的准线与 $x$ 轴的交点，且 $\left|MF\right|=2$ 抛物线与焦点弦的题目示意图 等比例直角坐标系中，抛物线 y² = 4x 的顶点为 O，焦点为 F(1, 0)，准线与 x 轴交于 M(−1, 0)。弦 AB 经过 F。斜率为 2 的直线 l 分别与 MA、MB、AB、x 轴交于 P、Q、R、N，且 RN² = PN · QN。N 位于 O 与 F 之间。 M O F N A B P Q R x y l [View diagram in the original article](https://pufanyi.com/blog/gaokao/2021-zhejiang-gaokao-conics) 抛物线、焦点弦与直线 *l* 的位置关系 （1）求抛物线的方程； 解：$p=2\Rightarrow y^2=4x$ （2）设过点 $F$ 的直线交抛物线与 $A$､$B$ 两点，斜率为 $2$ 的直线 $l$ 与直线 $MA,\,MB,\,AB$，$x$ 轴依次交于点 $P，Q，R，N$，且 $\left|RN\right|^2=\left|PN\right|\cdot\left|QN\right|$，求直线 $l$ 在 $x$ 轴上截距的范围。 解： 设 $A(a^2,2a),\ B(b^2,2b)$。有 $AB:\,(a+b)y=2x+2ab$。 将 $F(1,0)$ 代入得：$ab=-1$，即 $AB:\,(a+b)y=2x-2$。 设 $l:\,x=\frac{1}{2}y+t$，代入 $AB$，有：$y_R=\frac{2t-2}{a+b-1}$。 考虑到 $M(-1,0)$，于是 $MA:\,\frac{y-2a}{x-a^2}=\frac{2a}{a^2+1}$。 $MA$ 与 $l$ 联立：$y_P=\frac{2a(t+1)}{a^2-a+1}$。同理 $y_Q=\frac{2b(t+1)}{b^2-b+1}$。 又 $\left|PN\right|\cdot\left|QN\right|=\left|RN\right|^2\Rightarrow y_R^2=-y_Py_Q$。 考虑到 $-y_Py_Q=-\frac{4ab(t+1)^2}{(a^2-a+1)(b^2-b+1)}=\frac{4(t+1)^2}{a^2+b^2+1}$，$y_R^2=\frac{4(t-1)^2}{a^2+b^2-2a-2b-1}$。 **当 $t\not=\pm 1$ 时：** 我们有：$\left|PN\right|\cdot\left|QN\right|=\left|RN\right|^2\Rightarrow\left(\frac{t-1}{t+1}\right)^2=\frac{a^2+b^2-2a-2b-1}{a^2+b^2+1}$。 令 $s=a+b$，则 $s=a-\frac{1}{a}\in\mathbb{R}$，$a^2+b^2=s^2-2ab=s^2+2$。 那么我们有 $\left(\frac{t-1}{t+1}\right)^2=\frac{(s-1)^2}{s^2+3}$ 取 $r=\frac{(s-1)^2}{s^2+3}$，我们有 $(r-1)s^2+2s+(3r-1)=0$，$\Delta=4-4(r-1)(3r-1)\ge 0$。 于是 $r\in \left[0, \frac{4}{3}\right]$，也即 $\frac{t-1}{t+1}\in\left[-\sqrt{\frac{4}{3}}, \sqrt{\frac{4}{3}}\right]$，故 $t\le -4\sqrt{3}-7$ 或 $t\ge 4\sqrt{3}-7$ 且 $t\not= 1$。 **当 $t=\pm 1$ 时：** $\left|RN\right|^2=0$，但 $\left|PN\right|\cdot\left|QN\right|$ 不可能为 $0$，故不成立。 综上，$t\in\left(-\infty, -4\sqrt{3}-7\right]\cup\left[4\sqrt{3}-7,1\right)\cup\left(1,+\infty\right)$。