把正整数 \(n\) 分解成几个正整数的和，是它们的乘积最大。
以下纯口胡，如果有问题求在下面留言。
根据均值不等式（证明在最下面）：
\[
\prod_{i=1}^n x_i\le \left(\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}\right)^n
\]
先不考虑整数的限制，我们应将一个数均匀地分成 \(k\) 份，每个数为 \(x\)，那么有：
\[
n=kx
\]
另乘积为 \(y\)，有：
\[
y=x^k=x^{\frac{n}{x}}=(x^{\frac{1}{x}})^n
\]
于是问题就变成了求 \(y=x^{\frac{1}{x}}\) 在 \(x>0\) 上的极值。
两边同取对数：
\[
\ln y = \frac{1}{x}\ln x
\]
两边同时关于 \(x\) 求导：
\[
\frac{y'}{y}=-\frac{1}{x^2}\ln x+\frac{1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}
\]
右边应该没问题，那左边为什么不是 \(\frac{1}{y}\) 呢？
因为 \(y\) 是个因变量，其导数不一定就是 \(1\)，即 \(x\) 增加 \(\mathrm{d}x\)，\(y\) 不一定增加 \(\mathrm{d}x\)。
但我们有：
\[
f[g(x)]=f'(x)g'(x)
\]
于是：
\[
y'=\frac{1-\ln x}{x^2}y=\frac{1-\ln x}{x^2}x^{\frac{1}{x}}
\]
当 \(y'=0\) 时：
\[
\frac{1-\ln x}{x^2}x^{\frac{1}{x}}=0
\]
由于 \(x>0\)：
\[
1-\ln x=0
\]
即：
\[
x=e
\]
但 \(e\) 不是整数，由于 \(\lfloor e\rfloor=2,\lceil e\rceil=3\)，且
\[
2^{\frac{1}{2}}\approx1.4142135623730950488016887242097\\
3^{\frac{1}{3}}\approx1.4422495703074083823216383107801
\]
所以
\[
2^{\frac{1}{2}}<3^{\frac{1}{3}}
\]
因此应该尽量取 \(3\)，多出来的取 \(2\)。
下面给出均值不等式的一种证法：
有一种叫“反向归纳法”的东西，它是从 \(n\) 到 \(n-1\) 来证明命题。
我们令原命题为 \(P(n)\)。
首先，\(n=2\) 时显然为真：
\[
\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}
\]
然后证明 \(P(n)\) 和 \(P(2)\) 蕴涵着 \(P(2n)\)：
因为：
\[
\prod_{i=1}^n x_i\le \left(\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}\right)^n\\
\prod_{i=n+1}^{2n} x_i\le \left(\frac{\sum_{i=n+1}^{2n}x_i}{n}\right)^n
\]
两式相乘：
\[
\prod_{i=1}^{2n} x_i\le \left(\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}\right)^n\times\left(\frac{\sum_{i=n+1}^{2n}x_i}{n}\right)^n\le \left(\frac{\sum_{i=1}^{2n}x_i}{2n}\right)^{2n}
\]
最后证明 \(P(n)\) 蕴涵着 \(P(n-1)\)：
令 \(x_n=\frac{\sum_{i=1}^{n-1}x_i}{n-1}\) 即 \(x_n\) 为前 \(n-1\) 项的平均值，我们发现这 \(n\) 项的平均值为前 \(n-1\) 项的平均值，即：
\[
\prod_{i=1}^{n-1} x_i\times\frac{\sum_{i=1}^{n-1}x_i}{n-1}\le \left(\frac{\sum_{i=1}^{n-1}x_i}{n-1}\right)^n
\]
两边同除 \(\frac{\sum_{i=1}^{n-1}x_i}{n-1}\)：
\[
\prod_{i=1}^{n-1} x_i \le \left(\frac{\sum_{i=1}^{n-1}x_i}{n-1}\right)^{n-1}
\]