# CodeForces 351D Jeff and Removing Periods

Author: Fanyi Pu

Published: 2018-12-31

Canonical: <https://pufanyi.com/blog/oi-icpc/codeforces/cf351d>

CodeForces 351D Jeff and Removing Periods 题解。

[原题链接](https://codeforces.com/problemset/problem/351/D)

有一个长度为 $n(n\le 10^5)$ 的序列 $\{a\}(a_i\le 10^5)$，你可以对它进行操作，操作如下：首先选择三个数 $v, t, k$，满足 $a_v = a_{v+t} = a_{v + 2t} = \cdots = a_{v + kt}$，然后将其删除，得到一个新的序列。每次操作结束后你都能将新数列重排。

现有 $Q(Q\le 10^5)$ 个询问，每次询问 $[l, r]$ 表示问要把 $[l, r]$ 删除所需的最小步数。

（以上翻译改写自[洛谷](https://www.luogu.org/problemnew/show/CF351D)）

## 题解

感觉像是 [HH 的项链](https://www.luogu.org/problemnew/show/P1972) 的升级版。

不难发现答案就是 $[l, r]$ 不同数的个数 $+$ 第一次在 $[l,r]$ 中是否有一种数被删掉。

记两个数组 $fa[i]$ 与 $ffa[i]$，$fa[i]$ 表示上一次第 $i$ 个数出现在了那里，$ffa[i]$ 表示如果询问的 $l\le ffa[i]$，那么在 $[l, r]$ 区间内与第 $i$ 个数相同的不可能被一次性删除。

大致就是这样一幅图：

fa 与 ffa 的指向关系

序列为 2、1、3、3、3、3、1、3、1、1。每列上方是数值 a\[i]，下方是从 1 开始的位置 i。上方实线由 i 指向 fa\[i]：4 指向 3，5 指向 4，6 指向 5，7 指向 2，8 指向 6，9 指向 7，10 指向 9。下方红色虚线由 i 指向 ffa\[i]：8 指向 5，9 指向 2，10 指向 7。指向 0 的边不绘制。

fa\[i]

上一次出现

ffa\[i]

非等距边界

a\[i]

i

2

1

3

4

5

6

7

8

9

10

[View diagram in the original article](https://pufanyi.com/blog/oi-icpc/codeforces/cf351d)

fa 与 ffa 的指向关系（左右滑动查看完整图示）

上方实线表示 $fa[i]$，下方红色虚线表示 $ffa[i]$（如果 $fa[i]$ 或 $ffa[i]$ 连到了 $0$ 就没画）。

不难得出如果 $i - fa[i] = fa[i] - fa[fa[i]]$，那么 $ffa[i] = ffa[fa[i]]$，否则 $ffa[i] = fa[fa[i]]$。

```cpp
for(int i = 1, aa; i <= n; ++i)
{
    scanf("%d", &aa);
    fa[i] = lst[aa];
    lst[aa] = i;
    ffa[i] = (fa[i] - fa[fa[i]] == i - fa[i]) ? ffa[fa[i]] : fa[fa[i]];
}
```

我们考虑离线，让询问按 $r$ 为关键字排序。

考虑查询 $[l, r]$，如果是这样一段序列：$1, 2, 2, 2, 3$，我们发现 $2$ 出现了 $3$ 次，我们钦定最后一个 $2$ 对答案有贡献。这样我们对所有相同的数，都钦定最后一个对答案有贡献，其余对答案即可。这样没加入一个数，就在线段树/树状数组对 $i$ 位置加 $1$，在 $fa[i]$ 位置减 $1$ 即可（把前一个数的贡献删去）。

对于询问第一次能否完全删除一个数，我们只需查询有多少个数在 $[l, r]$ 上不是均匀分布即可。同理，我们钦定最后一个对答案有贡献，没加入一个 $i$ 时，在 $ffa[fa[i]]$ 上 $-1$，在 $ffa[i]$ 上 $+1$ 即可。

## 代码

```cpp
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int maxn = 100005;

int n;

struct Tree
{
    int no[maxn << 2];
    int K;

    inline void build_tree()
    {
        for(K = 1; K <= n; K <<= 1);
    }

    inline void add(int k, int x)
    {
        if(!k)
            return;
        for(k += K; k; k >>= 1)
            no[k] += x;
    }

    inline int query(int l, int r)
    {
        int ans = 0;
        for(l += K - 1, r += K + 1; l ^ r ^ 1; l >>= 1, r >>= 1)
        {
            if(~l & 1)
                ans += no[l ^ 1];
            if(r & 1)
                ans += no[r ^ 1];
        }
        return ans;
    }
} tr1, tr2;

int fa[maxn], ffa[maxn], lst[maxn];

struct ask
{
    int l, r, id;

    friend bool operator < (ask a, ask b)
    {
        return a.r < b.r;
    }
} q[maxn];

int ans[maxn];

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    tr1.build_tree(), tr2.build_tree();
    for(int i = 1, aa; i <= n; ++i)
    {
        scanf("%d", &aa);
        fa[i] = lst[aa];
        lst[aa] = i;
        ffa[i] = (fa[i] - fa[fa[i]] == i - fa[i]) ? ffa[fa[i]] : fa[fa[i]];
    }
    int Q;
    scanf("%d", &Q);
    for(int i = 1; i <= Q; ++i)
    {
        scanf("%d%d", &q[i].l, &q[i].r);
        q[i].id = i;
    }
    sort(q + 1, q + Q + 1);
    for(int i = 1, now = 0; i <= Q; ++i)
    {
        register int l = q[i].l, r = q[i].r;
        while(now < r)
        {
            now++;
            tr1.add(fa[now], -1);
            tr1.add(now, 1);
            tr2.add(ffa[fa[now]], -1);
            tr2.add(ffa[now], 1);
        }
        int tt1 = tr1.query(l, r), tt2 = tr2.query(l, r);
        ans[q[i].id] = tt1 + (tt1 == tt2);
    }
    for(int i = 1; i <= Q; ++i)
        printf("%d\n", ans[i]);
    return 0;
}
```