一个有趣的问题

把正整数 $n$ 分解成几个正整数的和，是它们的乘积最大。

以下纯口胡，如果有问题求在下面留言。

根据均值不等式（证明在最下面）：

\prod_{i = 1}^{n} x_{i} \leq {(\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}}{n})}^{n}

先不考虑整数的限制，我们应将一个数均匀地分成 $k$ 份，每个数为 $x$ ，那么有：

n = k x

另乘积为 $y$ ，有：

y = x^{k} = x^{\frac{n}{x}} = (x^{\frac{1}{x}})^{n}

于是问题就变成了求 $y = x^{\frac{1}{x}} $ 在 $x > 0 $ 上的极值。

两边同取对数：

\ln y = \frac{1}{x} \ln x

两边同时关于 $x$ 求导：

\frac{y^{'}}{y} = - \frac{1}{x^{2}} \ln x + \frac{1}{x^{2}} = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}

右边应该没问题，那左边为什么不是 $\frac{1}{y} $ 呢？

因为 $y$ 是个因变量，其导数不一定就是 $1$ ，即 $x$ 增加 $d x$ ， $y$ 不一定增加 $d x$ 。

但我们有：

f [g (x)] = f^{'} (x) g^{'} (x)

于是：

y^{'} = \frac{1 - \ln x}{x^{2}} y = \frac{1 - \ln x}{x^{2}} x^{\frac{1}{x}}

当 $y^{'} = 0$ 时：

\frac{1 - \ln x}{x^{2}} x^{\frac{1}{x}} = 0

由于 $x > 0$ ：

1 - \ln x = 0

即：

x = e

但 $e$ 不是整数，由于 $⌊ e ⌋ = 2, ⌈ e ⌉ = 3$ ，且

2^{\frac{1}{2}} \approx 1.4142135623730950488016887242097 3^{\frac{1}{3}} \approx 1.4422495703074083823216383107801

所以

2^{\frac{1}{2}} < 3^{\frac{1}{3}}

因此应该尽量取 $3$ ，多出来的取 $2$ 。

下面给出均值不等式的一种证法：

有一种叫“反向归纳法”的东西，它是从 $n$ 到 $n - 1$ 来证明命题。

我们令原命题为 $P (n) $ 。

首先， $n = 2 $ 时显然为真：

\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2}

然后证明 $P (n)$ 和 $P (2)$ 蕴涵着 $P (2 n)$ ：

因为：

\prod_{i = 1}^{n} x_{i} \leq {(\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}}{n})}^{n} \prod_{i = n + 1}^{2 n} x_{i} \leq {(\frac{\sum_{i = n + 1}^{2 n} x_{i}}{n})}^{n}

两式相乘：

\prod_{i = 1}^{2 n} x_{i} \leq {(\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}}{n})}^{n} \times {(\frac{\sum_{i = n + 1}^{2 n} x_{i}}{n})}^{n} \leq {(\frac{\sum_{i = 1}^{2 n} x_{i}}{2 n})}^{2 n}

最后证明 $P (n)$ 蕴涵着 $P (n - 1)$ ：

令 $x_{n} = \frac{\sum_{i = 1}^{n - 1} x_{i}}{n - 1} $ 即 $x_{n} $ 为前 $n - 1 $ 项的平均值，我们发现这 $n $ 项的平均值为前 $n - 1 $ 项的平均值，即：

\prod_{i = 1}^{n - 1} x_{i} \times \frac{\sum_{i = 1}^{n - 1} x_{i}}{n - 1} \leq {(\frac{\sum_{i = 1}^{n - 1} x_{i}}{n - 1})}^{n}

两边同除 $\frac{\sum_{i = 1}^{n - 1} x_{i}}{n - 1}$ ：

\prod_{i = 1}^{n - 1} x_{i} \leq {(\frac{\sum_{i = 1}^{n - 1} x_{i}}{n - 1})}^{n - 1}

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