# Maxwell's Equations

Author: Fanyi Pu

Published: 2024-04-26

Canonical: <https://pufanyi.com/blog/physics/notes/maxwells-equations>

学不完了学不完了学不完了啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊

要学不完了。

简单记一点点。

由于 MathJax 居然不支持多重的环积分，我下面所有的多重环积分全部用 $\oint$ 来表示，能看懂就行。没时间调了啊啊啊啊啊啊啊啊来不及了要考试了啊啊啊啊啊啊啊啊

$$
\iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\ \;\;\large{\subset\!\supset}
$$

这样子打：

```latex
\iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\ \;\;\large{\subset\!\supset}
```

虽然有点抽象，但你就说打没打出来吧（

2026/02/18 update: 重写了 blog，把 MathJax 升级的 MathJaX 4 了，貌似现在可以打出来了：

$$
\oiint_S
$$

```latex
\oiint_S
```

***

## Gauss's Law

$$
\oiint_S {\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{A}} = \frac{\sum q}{\varepsilon_0}
$$

这个 $\varepsilon_0$ 其实是真空的电容率。

直观理解就是每个电荷 $q$ 能产生 $\frac{q}{\varepsilon_0}$ 的电场线。

他能推库仑定律，就是你考虑一个点电荷 $q$ 为中心，半径为 $r$ 的球面，表面积是 $4\pi r^2$，然后因为整个球是中心对称的，于是我们就有：

$$
\left\|\vec{E}\right\|\cdot A = \oiint_S \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{A} = \frac{q}{\varepsilon_0}
$$

于是乎：

$$
\left\|\vec{E}\right\| = \frac{q}{4\pi r^2 \varepsilon_0}
$$

如果不是真空，也就是如果有电解质（Dielectric，记住这个单词！！！）的话，就是你假设现在我有个平板电容中间是电解质。两个板子电荷密度分别为 $\sigma_m$ 和 $-\sigma_m$。

然后把电场加上之后，会发现中间的 dielectric 因为正负电子被拉开然后产生一个电场，可以认为是在这个 dielectric 的边缘出现了 $-\sigma_D$ 和 $\sigma_D$ 的电荷。其中：

$$
\sigma_D=\varepsilon_0\chi_e E
$$

然后这个 $\chi_e$ 就叫 electric susceptibility（电极化率），跟 dielectric 有关的一个数。

我们用用高斯定律就能得到一个：

$$
\left\|\vec{E}\right\| = \frac{\sigma_m-\sigma_D}{\varepsilon_0}
$$

然后我们跟上面的公式联立，就能得到：

$$
\left\|\vec{E}\right\| = \frac{\sigma_m}{\varepsilon_0(1+\chi_e)}
$$

于是乎：

$$
V = \int \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \frac{\sigma_md}{\varepsilon_0(1+\chi_e)}=\frac{Qd}{\varepsilon_0(1+\chi_e)A}
$$

我们让：

$$
C = \frac{\varepsilon_0 (1+\chi_e)A}{d}
$$

就能得到：

$$
V = \frac{Q}{C}
$$

然后我们就推了一下平板电容的公式，而其中这东西的电容率就是 $\varepsilon_0 (1+\chi_e)$。

然后我们考虑另一个结果就是其实我们就可以直接去认为电场穿过 dielectric 的时候，电场强度会变小，这个变小的倍数就是 $1+\chi_e$，于是乎我们可以改进一下这个方程：

$$
\oiint_S \left(1+\chi_e\right)\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{A} = \frac{\sum q}{\varepsilon_0}
$$

***

## Gauss's Law for Magnetism

同样很好理解，毕竟磁感线一定是个闭环：

$$
\oiint_S \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{A} = 0
$$

***

## Faraday's Law

感应电动势等于磁通量的变化率：

$$
\oint{\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}} = -\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\iint_S{\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}}
$$

***

## Ampère's Law with Maxwell's Addition

就首先我们需要说的是 Ampère's Law：

$$
\oint\vec{B}\mathrm{d}\vec{\ell} = \mu_0\sum I_\text{enc}
$$

就和高斯定律很像的一个东西，其实就是每个 $I$ 都会产生一个 $\mu_0 I$ 的磁感线。

这个东西如果在电流恒定的情况下是对的，然后可以推 Biot-Savart Law：

$$
\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{I\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}\times\hat{r}}{\left\|\vec{r}\right\|^2}
$$

当然需要注意的是其中的 $\hat{r}=\frac{\vec{r}}{\left\|\vec{r}\right\|}$

证明上课没讲有空再推。

当然如果是单个粒子的话运动的话我们可以把 Biot-Savart Law 稍稍改一改：

$$
\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\cdot \frac{q\cdot\vec{v}\times\hat{r}}{\left\|\vec{r}\right\|^2}
$$

然后这个东西其实有一点小问题，就是你假设有一个电容，在一开始充电的时候电容里面那部分是没有电流的，他其实是一个电场的改变，就我们可以把它当成电流，而这其实是电场的改变率。于是乎我们在公式里加个项就可以了：

$$
\oint{\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}} = \mu_0\sum I_\text{enc} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\iint_S{\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{A}}
$$

当然 $\iint_S{\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{A}}$ 其实就是电通量的变化量了：

$$
\oint{\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}} = \mu_0\sum I_\text{enc} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\mathrm{d}\Phi_E}{\mathrm{d}t}
$$

咋来的

就考虑到：

$$
I = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=\varepsilon_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{Q}{\varepsilon_0}=\varepsilon_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\iint_S{\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{A}}
$$

于是乎我们有：

$$
\oint\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \mu_0\left(\sum I_\text{enc} + \varepsilon_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\iint_S\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{A}\right)=\mu_0\sum I_\text{enc} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\iint_S\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{A}
$$