CodeForces 351D Jeff and Removing Periods

原题链接

有一个长度为 $n (n \leq 10^{5})$ 的序列 ${a} (a_{i} \leq 10^{5})$ ，你可以对它进行操作，操作如下：首先选择三个数 $v, t, k$ ，满足 $a_{v} = a_{v + t} = a_{v + 2 t} = \dots = a_{v + k t}$ ，然后将其删除，得到一个新的序列。每次操作结束后你都能将新数列重排。

现有 $Q (Q \leq 10^{5})$ 个询问，每次询问 $[l, r]$ 表示问要把 $[l, r]$ 删除所需的最小步数。

（以上翻译改写自洛谷）

题解

感觉像是 HH 的项链的升级版。

不难发现答案就是 $[l, r]$ 不同数的个数 $+$ 第一次在 $[l, r]$ 中是否有一种数被删掉。

记两个数组 $f a [i]$ 与 $f f a [i]$ ， $f a [i]$ 表示上一次第 $i$ 个数出现在了那里， $f f a [i]$ 表示如果询问的 $l \leq f f a [i]$ ，那么在 $[l, r]$ 区间内与第 $i$ 个数相同的不可能被一次性删除。

大致就是这样一幅图：

fa 与 ffa 的指向关系（左右滑动查看完整图示）

上方实线表示 $f a [i]$ ，下方红色虚线表示 $f f a [i]$ （如果 $f a [i]$ 或 $f f a [i]$ 连到了 $0$ 就没画）。

不难得出如果 $i - f a [i] = f a [i] - f a [f a [i]]$ ，那么 $f f a [i] = f f a [f a [i]]$ ，否则 $f f a [i] = f a [f a [i]]$ 。

cpp

for(int i = 1, aa; i <= n; ++i)
{
    scanf("%d", &aa);
    fa[i] = lst[aa];
    lst[aa] = i;
    ffa[i] = (fa[i] - fa[fa[i]] == i - fa[i]) ? ffa[fa[i]] : fa[fa[i]];
}

我们考虑离线，让询问按 $r$ 为关键字排序。

考虑查询 $[l, r]$ ，如果是这样一段序列： $1, 2, 2, 2, 3$ ，我们发现 $2$ 出现了 $3$ 次，我们钦定最后一个 $2$ 对答案有贡献。这样我们对所有相同的数，都钦定最后一个对答案有贡献，其余对答案即可。这样没加入一个数，就在线段树/树状数组对 $i$ 位置加 $1$ ，在 $f a [i]$ 位置减 $1$ 即可（把前一个数的贡献删去）。

对于询问第一次能否完全删除一个数，我们只需查询有多少个数在 $[l, r]$ 上不是均匀分布即可。同理，我们钦定最后一个对答案有贡献，没加入一个 $i$ 时，在 $f f a [f a [i]]$ 上 $- 1$ ，在 $f f a [i]$ 上 $+ 1$ 即可。

代码

cpp

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int maxn = 100005;

int n;

struct Tree
{
    int no[maxn << 2];
    int K;

    inline void build_tree()
    {
        for(K = 1; K <= n; K <<= 1);
    }

    inline void add(int k, int x)
    {
        if(!k)
            return;
        for(k += K; k; k >>= 1)
            no[k] += x;
    }

    inline int query(int l, int r)
    {
        int ans = 0;
        for(l += K - 1, r += K + 1; l ^ r ^ 1; l >>= 1, r >>= 1)
        {
            if(~l & 1)
                ans += no[l ^ 1];
            if(r & 1)
                ans += no[r ^ 1];
        }
        return ans;
    }
} tr1, tr2;

int fa[maxn], ffa[maxn], lst[maxn];

struct ask
{
    int l, r, id;

    friend bool operator < (ask a, ask b)
    {
        return a.r < b.r;
    }
} q[maxn];

int ans[maxn];

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    tr1.build_tree(), tr2.build_tree();
    for(int i = 1, aa; i <= n; ++i)
    {
        scanf("%d", &aa);
        fa[i] = lst[aa];
        lst[aa] = i;
        ffa[i] = (fa[i] - fa[fa[i]] == i - fa[i]) ? ffa[fa[i]] : fa[fa[i]];
    }
    int Q;
    scanf("%d", &Q);
    for(int i = 1; i <= Q; ++i)
    {
        scanf("%d%d", &q[i].l, &q[i].r);
        q[i].id = i;
    }
    sort(q + 1, q + Q + 1);
    for(int i = 1, now = 0; i <= Q; ++i)
    {
        register int l = q[i].l, r = q[i].r;
        while(now < r)
        {
            now++;
            tr1.add(fa[now], -1);
            tr1.add(now, 1);
            tr2.add(ffa[fa[now]], -1);
            tr2.add(ffa[now], 1);
        }
        int tt1 = tr1.query(l, r), tt2 = tr2.query(l, r);
        ans[q[i].id] = tt1 + (tt1 == tt2);
    }
    for(int i = 1; i <= Q; ++i)
        printf("%d\n", ans[i]);
    return 0;
}

题解

代码

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