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Maxwell's Equations

Fanyi Pu

่ฆๅญฆไธๅฎŒไบ†ใ€‚

็ฎ€ๅ•่ฎฐไธ€็‚น็‚นใ€‚

็”ฑไบŽ MathJax ๅฑ…็„ถไธๆ”ฏๆŒๅคš้‡็š„็Žฏ็งฏๅˆ†๏ผŒๆˆ‘ไธ‹้ขๆ‰€ๆœ‰็š„ๅคš้‡็Žฏ็งฏๅˆ†ๅ…จ้ƒจ็”จ โˆฎ ๆฅ่กจ็คบ๏ผŒ่ƒฝ็œ‹ๆ‡‚ๅฐฑ่กŒใ€‚ๆฒกๆ—ถ้—ด่ฐƒไบ†ๅ•Šๅ•Šๅ•Šๅ•Šๅ•Šๅ•Šๅ•Šๅ•ŠๆฅไธๅŠไบ†่ฆ่€ƒ่ฏ•ไบ†ๅ•Šๅ•Šๅ•Šๅ•Šๅ•Šๅ•Šๅ•Šๅ•Š

โˆฌS โŠ‚โŠƒ

่ฟ™ๆ ทๅญๆ‰“๏ผš

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่™ฝ็„ถๆœ‰็‚นๆŠฝ่ฑก๏ผŒไฝ†ไฝ ๅฐฑ่ฏดๆ‰“ๆฒกๆ‰“ๅ‡บๆฅๅง๏ผˆ

2026/02/18 update: ้‡ๅ†™ไบ† blog๏ผŒๆŠŠ MathJax ๅ‡็บง็š„ MathJaX 4 ไบ†๏ผŒ่ฒŒไผผ็Žฐๅœจๅฏไปฅๆ‰“ๅ‡บๆฅไบ†๏ผš

โˆฏS
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Gauss's Law

โˆฏSEโ†’โ‹…dAโ†’=โˆ‘qฮต0

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็›ด่ง‚็†่งฃๅฐฑๆ˜ฏๆฏไธช็”ต่ท q ่ƒฝไบง็”Ÿ qฮต0 ็š„็”ตๅœบ็บฟใ€‚

ไป–่ƒฝๆŽจๅบ“ไป‘ๅฎšๅพ‹๏ผŒๅฐฑๆ˜ฏไฝ ่€ƒ่™‘ไธ€ไธช็‚น็”ต่ท q ไธบไธญๅฟƒ๏ผŒๅŠๅพ„ไธบ r ็š„็ƒ้ข๏ผŒ่กจ้ข็งฏๆ˜ฏ 4ฯ€r2๏ผŒ็„ถๅŽๅ› ไธบๆ•ดไธช็ƒๆ˜ฏไธญๅฟƒๅฏน็งฐ็š„๏ผŒไบŽๆ˜ฏๆˆ‘ไปฌๅฐฑๆœ‰๏ผš

โ€–Eโ†’โ€–โ‹…A=โˆฏSEโ†’โ‹…dAโ†’=qฮต0

ไบŽๆ˜ฏไนŽ๏ผš

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ๅฆ‚ๆžœไธๆ˜ฏ็œŸ็ฉบ๏ผŒไนŸๅฐฑๆ˜ฏๅฆ‚ๆžœๆœ‰็”ต่งฃ่ดจ๏ผˆDielectric๏ผŒ่ฎฐไฝ่ฟ™ไธชๅ•่ฏ๏ผ๏ผ๏ผ๏ผ‰็š„่ฏ๏ผŒๅฐฑๆ˜ฏไฝ ๅ‡่ฎพ็Žฐๅœจๆˆ‘ๆœ‰ไธชๅนณๆฟ็”ตๅฎนไธญ้—ดๆ˜ฏ็”ต่งฃ่ดจใ€‚ไธคไธชๆฟๅญ็”ต่ทๅฏ†ๅบฆๅˆ†ๅˆซไธบ ฯƒm ๅ’Œ โˆ’ฯƒmใ€‚

็„ถๅŽๆŠŠ็”ตๅœบๅŠ ไธŠไน‹ๅŽ๏ผŒไผšๅ‘็Žฐไธญ้—ด็š„ dielectric ๅ› ไธบๆญฃ่ดŸ็”ตๅญ่ขซๆ‹‰ๅผ€็„ถๅŽไบง็”Ÿไธ€ไธช็”ตๅœบ๏ผŒๅฏไปฅ่ฎคไธบๆ˜ฏๅœจ่ฟ™ไธช dielectric ็š„่พน็ผ˜ๅ‡บ็Žฐไบ† โˆ’ฯƒD ๅ’Œ ฯƒD ็š„็”ต่ทใ€‚ๅ…ถไธญ๏ผš

ฯƒD=ฮต0ฯ‡eE

็„ถๅŽ่ฟ™ไธช ฯ‡e ๅฐฑๅซ electric susceptibility๏ผˆ็”ตๆžๅŒ–็Ž‡๏ผ‰๏ผŒ่ทŸ dielectric ๆœ‰ๅ…ณ็š„ไธ€ไธชๆ•ฐใ€‚

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โ€–Eโ†’โ€–=ฯƒmโˆ’ฯƒDฮต0

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โ€–Eโ†’โ€–=ฯƒmฮต0(1+ฯ‡e)

ไบŽๆ˜ฏไนŽ๏ผš

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V=QC

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็„ถๅŽๆˆ‘ไปฌ่€ƒ่™‘ๅฆไธ€ไธช็ป“ๆžœๅฐฑๆ˜ฏๅ…ถๅฎžๆˆ‘ไปฌๅฐฑๅฏไปฅ็›ดๆŽฅๅŽป่ฎคไธบ็”ตๅœบ็ฉฟ่ฟ‡ dielectric ็š„ๆ—ถๅ€™๏ผŒ็”ตๅœบๅผบๅบฆไผšๅ˜ๅฐ๏ผŒ่ฟ™ไธชๅ˜ๅฐ็š„ๅ€ๆ•ฐๅฐฑๆ˜ฏ 1+ฯ‡e๏ผŒไบŽๆ˜ฏไนŽๆˆ‘ไปฌๅฏไปฅๆ”น่ฟ›ไธ€ไธ‹่ฟ™ไธชๆ–น็จ‹๏ผš

โˆฏS(1+ฯ‡e)Eโ†’โ‹…dAโ†’=โˆ‘qฮต0

Gauss's Law for Magnetism

ๅŒๆ ทๅพˆๅฅฝ็†่งฃ๏ผŒๆฏ•็ซŸ็ฃๆ„Ÿ็บฟไธ€ๅฎšๆ˜ฏไธช้—ญ็Žฏ๏ผš

โˆฏSBโ†’โ‹…dAโ†’=0

Faraday's Law

ๆ„Ÿๅบ”็”ตๅŠจๅŠฟ็ญ‰ไบŽ็ฃ้€š้‡็š„ๅ˜ๅŒ–็Ž‡๏ผš

โˆฎEโ†’โ‹…dโ„“โ†’=โˆ’dฮฆBdt=โˆ’ddtโˆฌSBโ†’โ‹…dSโ†’

Ampรจre's Law with Maxwell's Addition

ๅฐฑ้ฆ–ๅ…ˆๆˆ‘ไปฌ้œ€่ฆ่ฏด็š„ๆ˜ฏ Ampรจre's Law๏ผš

โˆฎBโ†’dโ„“โ†’=ฮผ0โˆ‘Ienc

ๅฐฑๅ’Œ้ซ˜ๆ–ฏๅฎšๅพ‹ๅพˆๅƒ็š„ไธ€ไธชไธœ่ฅฟ๏ผŒๅ…ถๅฎžๅฐฑๆ˜ฏๆฏไธช I ้ƒฝไผšไบง็”Ÿไธ€ไธช ฮผ0I ็š„็ฃๆ„Ÿ็บฟใ€‚

่ฟ™ไธชไธœ่ฅฟๅฆ‚ๆžœๅœจ็”ตๆตๆ’ๅฎš็š„ๆƒ…ๅ†ตไธ‹ๆ˜ฏๅฏน็š„๏ผŒ็„ถๅŽๅฏไปฅๆŽจ Biot-Savart Law๏ผš

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่ฏๆ˜ŽไธŠ่ฏพๆฒก่ฎฒๆœ‰็ฉบๅ†ๆŽจใ€‚

ๅฝ“็„ถๅฆ‚ๆžœๆ˜ฏๅ•ไธช็ฒ’ๅญ็š„่ฏ่ฟๅŠจ็š„่ฏๆˆ‘ไปฌๅฏไปฅๆŠŠ Biot-Savart Law ็จ็จๆ”นไธ€ๆ”น๏ผš

Bโ†’=ฮผ04ฯ€โ‹…qโ‹…vโ†’ร—r^โ€–rโ†’โ€–2

็„ถๅŽ่ฟ™ไธชไธœ่ฅฟๅ…ถๅฎžๆœ‰ไธ€็‚นๅฐ้—ฎ้ข˜๏ผŒๅฐฑๆ˜ฏไฝ ๅ‡่ฎพๆœ‰ไธ€ไธช็”ตๅฎน๏ผŒๅœจไธ€ๅผ€ๅง‹ๅ……็”ต็š„ๆ—ถๅ€™็”ตๅฎน้‡Œ้ข้‚ฃ้ƒจๅˆ†ๆ˜ฏๆฒกๆœ‰็”ตๆต็š„๏ผŒไป–ๅ…ถๅฎžๆ˜ฏไธ€ไธช็”ตๅœบ็š„ๆ”นๅ˜๏ผŒๅฐฑๆˆ‘ไปฌๅฏไปฅๆŠŠๅฎƒๅฝ“ๆˆ็”ตๆต๏ผŒ่€Œ่ฟ™ๅ…ถๅฎžๆ˜ฏ็”ตๅœบ็š„ๆ”นๅ˜็Ž‡ใ€‚ไบŽๆ˜ฏไนŽๆˆ‘ไปฌๅœจๅ…ฌๅผ้‡ŒๅŠ ไธช้กนๅฐฑๅฏไปฅไบ†๏ผš

โˆฎEโ†’โ‹…dlโ†’=ฮผ0โˆ‘Ienc+ฮผ0ฮต0ddtโˆฌSEโ†’โ‹…dAโ†’

ๅฝ“็„ถ โˆฌSEโ†’โ‹…dAโ†’ ๅ…ถๅฎžๅฐฑๆ˜ฏ็”ต้€š้‡็š„ๅ˜ๅŒ–้‡ไบ†๏ผš

โˆฎEโ†’โ‹…dlโ†’=ฮผ0โˆ‘Ienc+ฮผ0ฮต0dฮฆEdt
ๅ’‹ๆฅ็š„

ๅฐฑ่€ƒ่™‘ๅˆฐ๏ผš

I=dQdt=ฮต0ddtQฮต0=ฮต0ddtโˆฌSEโ†’โ‹…dAโ†’

ไบŽๆ˜ฏไนŽๆˆ‘ไปฌๆœ‰๏ผš

โˆฎEโ†’โ‹…dlโ†’=ฮผ0(โˆ‘Ienc+ฮต0ddtโˆฌSEโ†’โ‹…dAโ†’)=ฮผ0โˆ‘Ienc+ฮผ0ฮต0ddtโˆฌSEโ†’โ‹…dAโ†’

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@misc{pu2024physicsnotesmaxwellsequations,
  author = {Pu, Fanyi},
  title  = {Maxwell's Equations},
  year   = {2024},
  month  = {4},
  url    = {https://pufanyi.com/blog/physics/notes/maxwells-equations}
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